UD2.3. POLÍGONOS REGULARES

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se unen son los vértices.

Tipos de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes

Polígonos según sus lados

Los polígonos se pueden clasificar según su número de lados:

• Triángulo: polígono con tres lados

• Cuadrilátero: polígono con cuatro lados

• Pentágono: polígono con cinco lados

• Hexágono: polígono con seis lados

• Heptágono: polígono con siete lados

• Octógono: polígono con ocho lados

• Eneágono: polígono con nueve lados

• Decágono: polígono con diez lados

• Undecágono: polígono con once lados

• Dodecágono: polígono con doce lados

• Y así sucesivamente…

Polígonos según su regularidad

También podemos clasificar los polígonos según sus lados y ángulos:

• Equilátero: si tienen todos sus lados iguales.

• Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales.

• Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)

• Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

Polígonos según sus ángulos

Podemos clasificar los polígonos según si sus ángulos son mayores o menores de 180º en convexos o cóncavos.

• Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Por otro método, será convexo si para cualquier par de puntos del polígono, el segmento que los une está dentro del polígono.

• Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. Al contrario del convexo, en los cóncavos existe un par de puntos del polígono que el segmento que los une queda fuera del polígono.

Polígonos según su complejidad

• Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro
• Complejo: al menos un par de lados se corta

Elementos del polígono regular

Existen varios elementos del polígono regular que los caracterizan.

• Centro (C): es el punto del polígono regular que equidista a todos los vértices.

• Lado (L): es uno de los n segmentos que delimitan el perímetro del polígono.

• Vértice (V): punto de unión de dos lados. Existen tantos vértices como lados tiene el polígono (n).

• Radio (r): es el segmento que une el centro con un vértice

• Apotema (ap): segmento que une el centro con el punto medio de un lado. La apotema es perpendicular a dicho lado.

• Diagonales: son segmentos que unen vértices no consecutivos.

Clasificación de polígonos regulares

Los polígonos regulares se pueden clasificar según el número de lados que tienen:

• Triángulo equilátero: polígono con tres lados y ángulos iguales.

• Cuadrado: polígono con cuatro lados y ángulos iguales.

• Pentágono regular: polígono con cinco lados y ángulos iguales.

• Hexágono regular: polígono con seis lados y ángulos iguales.

• Heptágono regular: polígono con siete lados y ángulos iguales.

• Octógono regular: polígono con ocho lados y ángulos iguales.

• Eneágono regular: polígono con nueve lados y ángulos iguales.

• Decágono regular: polígono con diez lados y ángulos iguales.

• Undecágono regular: polígono con once lados y ángulos iguales.

• Dodecágono regular: polígono con doce lados y ángulos iguales.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES 1: A PARTIR DEL LADO

1.- TRIÁNGULO EQUILÁTERO A PARTIR DEL LADO

 2.- CUADRADO A PARTIR DEL LADO

 3.- PENTÁGONO A PARTIR DEL LADO

 4.- HEXÁGONO A PARTIR DEL LADO

 5.- HEPTÁGONO A PARTIR DEL LADO (CONSTRUCCIÓN APROXIMADA)

 6.- OCTÓGONO A PARTIR DEL LADO

 7.- ENEÁGONO A PARTIR DEL LADO (CONSTRUCCIÓN APROXIMADA)

8.-DECÁGONO A PARTIR DEL LADO

CONSTRUCCIÓN GENERAL DE POLÍGONOS A PARTIR DEL LADO

Aquí tenéis un ejemplo de la construcción general de un endecágono mediante la construcción general. Tenéis que saber que esta es una construcción no exacta.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS 2: A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

HEXÁGONO

CUADRADO/OCTÓGONO

PENTÁGONO/DECÁGONO

 

CONSTRUCCIÓN GENERAL A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA

UD2.2. CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es una superficie plana delimitada por rectas que se cortan dos a dos. Los puntos en los que se cortan son los vértices y los segmentos determinados por esos puntos lados.
Los cuadriláteros se clasifican en dos clases según sus ángulos interiores:

• Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de π radianes (180º). La suma de sus ángulos interiores es de 360º (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores.
• Cóncavos: uno de sus ángulos interiores mide más de π radianes (180º). Al menos una de sus dos diagonales es exterior.

Los cuadriláteros convexos se pueden dividir en varias categorías según sus lados y ángulos:

• Paralelogramos: es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los ángulos opuestos iguales.
• Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales. Sus diagonales son iguales y se bisecan a 90º
• Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.Sus diagonales son iguales, pero se bisecan a un ángulo diferente de 90º.
• Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente. Sus diagonales son diferentes y se bisecan a 90º.
• Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado paralelogramo no regular.






• Trapecios: cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.
• Trapecio rectángulo: se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos ángulos consecutivos rectos (de 90º).
• Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud. Diagonales iguales y se bisecan.
• Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.






• Trapezoides: es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.
  
  
  
  
  
  

Casuística:

• Construcción de un cuadrado:

• A partir del lado:

• A partir de la diagonal:

• Rectángulo a partir de sus lados:

• Rectángulo conociendo un lado y su diagonal:

• Rectángulo conociendo la diagonal y la suma de sus lados:

• Rectángulo conocida la suma y la diferencia de sus lados:

1. La suma de los lados es s.
2. Sobre él colocamos d, resta de los lados.
3. Sobre la diferencia de ambos segmentos (s-d) trazamos la mediatriz hallando B.
4. Pinchamos en B y con radio BP y subimos con el compás sobre la mediatriz para halla C.
5. BC es el lado menor del rectángulo, ya solo queda dibujarlo.

• Construcción del rombo:
• Dado un lado y la diagonal:

• Dado un ángulo y su diagonal:

• Rombo dado su lado y un ángulo:

• Romboide:
• Romboide conocidos sus lados y un ángulo:

• Romboide conocidos sus lados y la altura:

• Trapecio:
• Trapecio escaleno conocidos sus cuatros lados:

• Trapecio escaleno conocidos sus bases y sus diagonales:

• Trapecio rectángulo conocida la base mayor, la altura y la diagonal menor:

 Trapecio isosceles conocida su base mayor, la altura y la diagonal:

UD2.1. TRIÁNGULOS

Un triángulo es una superficie plana delimitada por rectas que se cortan dos a dos, los punto de corte son los vértices del triángulo y los segmentos comprendidos entre ellos son llamados lados.
Los lados se nombran con letras minúsculas a, b, c en el sentido contrario a las agujas del reloj. Los vértices opuestos con la misma letra que el lado pero en mayúscula A, B y C. El lado a se suele referenciar como base del triángulo.
Los ángulos se nombran por letras griegas minúsculas.

CLASIFICACIÓN

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos. Existen los siguientes tipos de triángulos:

Tipos de triángulos según sus lados

• Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Es decir:

a=b=c; α=β=γ

Como todos los ángulos son iguales y suman 180º, todos son de 60º (α=β=γ=60º).

• Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.

El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).

• Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son diferentes. Es decir:
  

Tipos de Triángulos según sus ángulos

• Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).
• Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.
• Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
• Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos son agudos menores de 90º.
• 
  
  
  
  

Rectas y Puntos notables de un triángulo

Mediatriz:

Recta perpendicular trazada por el punto medio de un lado del triángulo, un triángulo tiene 3 mediatrices que se cortan en el circuncentro. El circuncentro es el cetro de la circunferencia circunscrita (que contiene sus vértices) al triángulo.

Mediana:

Es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Se cortan en el baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo. El baricentro está a una distancia de 2/3 de la mediana del vértice correspondiente. Se nombra con la letra m (ma, mb, mc).

Bisectriz:

Es la recta que divide a cada uno de los ángulos de un triángulo en dos partes iguales, se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita del triángulo. Se nombra con la letra b (ba, bb, bc).

Altura:

Es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro, centro del triángulo órtico, muy útil en el sistema axonométrico, como ya veremos) Se nombra con la letra h (ha, hb, hc)

otras rectas y triángulos notables:

cerviana: Cualquier recta lanzada desde un vértice al lado opuesto.
triángulo órtico: Es el que se construye uniendo los pies de las alturas de un triángulo. Muy útil en sistema axonométrico.
triángulo podar: Sus vértices son los pies de las perpendiculares tiradas a los lados desde un punto P cualquiera interior al triángulo. 
triángulo complementario: Sus vértices están situados en los puntos medios de los lados del triángulo.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Triángulo conocidos sus lados:

Triángulo equilátero:

• A partir del lado:

• A partir de la circunferencia:

Triángulo equilátero conocida su altura:

Datos: altura del triángulo
Sabemos: que el baricentro está a una distancia de 2/3 de la mediana del vértice correspondiente y que en el triángulo equilátero coincide con el circuncentro.
Operamos:
1.- Dibujamos una perpendicular a la altura por su base.
2.- Dividimos la altura en 3 partes iguales mediante el teorema de Tales.
3.- Hacemos centro con el compás en la primera división a partir de la base y con radio 2/3 de la altura y hacemos un arco que pasando por el vértice superior de la altura corta a la perpendicular (punto 1) en dos puntos, vértices del triángulo.
4.- Unimos los vértices.

Triángulo isósceles conocida su base y su altura.

Triángulo isósceles conocidos los lados iguales BC y la altura h:

Triángulo isósceles conocida la base AB y el ángulo opuesto:

Por semejanza

Construcción de un triángulo conocidos dos lados AB y BC y la mediana correspondiente a AB:

Construcción de un triángulo conocido el lado a el angulo adyacente B y el ángulo opuesto A :

Construcción de un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo adyacente no recto:

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y un cateto:

Construcción de un triángulo rectángulo conocido el cateto AB y el ángulo opuesto:

Por semejanza

Este ejercicio también se puede resolver mediante arco capaz

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y la suma de los catetos b+c:

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa BC y sobre esta el punto H por donde pasa la bisectriz del ángulo recto del triángulo:

Casuística varia en este enlace. Pinchar aquí

UD12. ELEMENTOS DE ACOTACIÓN. CORTES Y SECCIONES

Para acceder a toda la información sobre este tema os remito a la página de Dibujo Técnico II donde se desarrolla ampliamente. Pincha aquí
Además os dejo unos vídeos en el que se hace una introducción al concepto de normalización, los procedimientos y los organismos que las fijan.

UD9. SISTEMA AXONOMÉTRICO

FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO Y PERSPECTIVA CABALLERA

COEFICIENTE DE REDUCCIÓN Y TRIÁNGULO DE LAS TRAZAS

En este vídeo podrás ver en 3D el porqué del procedimiento que empleamos para calcular las reducciones de las medidas en los ejes axonométricos.

ALFABETO DEL PUNTO

REPRESENTACIÓN DE LA RECTA

ALFABETO DE LA RECTA

ALFABETO DEL PLANO

PLANO DEFINIDO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN

PLANO DEFINIDO POR UNA RECTA Y UN PUNTO

PLANO DEFINIDO POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS

UD6. ÓVALOS Y OVOIDES

ÓVALO CONOCIDO SU EJE MAYOR  

ÓVALO CONOCIDO SU EJE MENOR  

ÓVALO CONOCIDOS SUS EJES

 

ÓVALO ISOMÉTRICO

 

OVOIDE CONOCIDO EJE MAYOR

 

OVOIDE CONOCIDO EJE MENOR

 

OVOIDE CONOCIDOS LOS DOS EJES