UD2.1. TRIÁNGULOS

Un triángulo es una superficie plana delimitada por rectas que se cortan dos a dos, los punto de corte son los vértices del triángulo y los segmentos comprendidos entre ellos son llamados lados.
Los lados se nombran con letras minúsculas a, b, c en el sentido contrario a las agujas del reloj. Los vértices opuestos con la misma letra que el lado pero en mayúscula A, B y C. El lado a se suele referenciar como base del triángulo.
Los ángulos se nombran por letras griegas minúsculas.

CLASIFICACIÓN

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos. Existen los siguientes tipos de triángulos:

Tipos de triángulos según sus lados

• Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Es decir:

a=b=c; α=β=γ

Como todos los ángulos son iguales y suman 180º, todos son de 60º (α=β=γ=60º).

• Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.

El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).

• Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son diferentes. Es decir:
  

Tipos de Triángulos según sus ángulos

• Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).
• Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.
• Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
• Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos son agudos menores de 90º.
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Rectas y Puntos notables de un triángulo

Mediatriz:

Recta perpendicular trazada por el punto medio de un lado del triángulo, un triángulo tiene 3 mediatrices que se cortan en el circuncentro. El circuncentro es el cetro de la circunferencia circunscrita (que contiene sus vértices) al triángulo.

Mediana:

Es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Se cortan en el baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo. El baricentro está a una distancia de 2/3 de la mediana del vértice correspondiente. Se nombra con la letra m (ma, mb, mc).

Bisectriz:

Es la recta que divide a cada uno de los ángulos de un triángulo en dos partes iguales, se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita del triángulo. Se nombra con la letra b (ba, bb, bc).

Altura:

Es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro, centro del triángulo órtico, muy útil en el sistema axonométrico, como ya veremos) Se nombra con la letra h (ha, hb, hc)

otras rectas y triángulos notables:

cerviana: Cualquier recta lanzada desde un vértice al lado opuesto.
triángulo órtico: Es el que se construye uniendo los pies de las alturas de un triángulo. Muy útil en sistema axonométrico.
triángulo podar: Sus vértices son los pies de las perpendiculares tiradas a los lados desde un punto P cualquiera interior al triángulo. 
triángulo complementario: Sus vértices están situados en los puntos medios de los lados del triángulo.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Triángulo conocidos sus lados:

Triángulo equilátero:

• A partir del lado:

• A partir de la circunferencia:

Triángulo equilátero conocida su altura:

Datos: altura del triángulo
Sabemos: que el baricentro está a una distancia de 2/3 de la mediana del vértice correspondiente y que en el triángulo equilátero coincide con el circuncentro.
Operamos:
1.- Dibujamos una perpendicular a la altura por su base.
2.- Dividimos la altura en 3 partes iguales mediante el teorema de Tales.
3.- Hacemos centro con el compás en la primera división a partir de la base y con radio 2/3 de la altura y hacemos un arco que pasando por el vértice superior de la altura corta a la perpendicular (punto 1) en dos puntos, vértices del triángulo.
4.- Unimos los vértices.

Triángulo isósceles conocida su base y su altura.

Triángulo isósceles conocidos los lados iguales BC y la altura h:

Triángulo isósceles conocida la base AB y el ángulo opuesto:

Por semejanza

Construcción de un triángulo conocidos dos lados AB y BC y la mediana correspondiente a AB:

Construcción de un triángulo conocido el lado a el angulo adyacente B y el ángulo opuesto A :

Construcción de un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo adyacente no recto:

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y un cateto:

Construcción de un triángulo rectángulo conocido el cateto AB y el ángulo opuesto:

Por semejanza

Este ejercicio también se puede resolver mediante arco capaz

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y la suma de los catetos b+c:

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa BC y sobre esta el punto H por donde pasa la bisectriz del ángulo recto del triángulo:

Casuística varia en este enlace. Pinchar aquí