UD2.4. POLÍGONOS ESTRELLADOS

POLÍGONOS ESTRELLADOS

Los polígonos estrellados surgen de la unión de vértices no consecutivos de polígonos convexos. El resultado es una línea quebrada cerrada que al final de ciclo vuelve al vértice del cual partió. Dependiendo de sus características, podemos clasificarlos según:

• GÉNERO. g: Se denomina así al número de cuerdas o lados del polígono estrellado.
• El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un género 5, pentágono estrellado = pentágono).

• PASO. p: Número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado.

• ESPECIE .e: En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc.

Polígonos estrellados de los convexos.

El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo es el número de cifras primas con él menores de su mitad. Estas cifras primas nos indican además el paso del polígono y por tanto su especie.

• Por ejemplo en el pentágono dividimos 5 por dos (5/2 = 2.5) y observamos que el número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. Podemos deducir por tanto que el pentágono tiene un solo polígono estrellado, y no solo eso sino que, además, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2) pues 2 es el número primo resultante de la operación. El polígono así obtenido será por tanto de 1ª especie.
• Hexágono: 6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar decimales. El hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 0 no tiene primos.
• Heptágono: 7/2 = 3.5. Los números 3 y 2 son los primos de 7. El heptágono tiene dos polígonos estrellados (dos primos) de pasos 2 y 3, o especies 1ª y 2ª.

Construcción.

• El triángulo no tiene polígono estrellado.

• El cuadrado no tiene polígono estrellado.

• El pentágono uno de 1ª especie.

• El hexágono ninguno.

• El heptágono dos, de 1ª y 2ª especie.

• El octógono uno, de 2ª especie.

• El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie.

• El decágono uno, de 2ª especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad si bien solo podremos trazar un polígono estrellado de 2ª especie.

• Con once vértices 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie.

• El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5 o 4ª especie. Fig.62

Fuente: dibujotecni.com

UD2.3. POLÍGONOS REGULARES

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se unen son los vértices.

Tipos de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes

Polígonos según sus lados

Los polígonos se pueden clasificar según su número de lados:

• Triángulo: polígono con tres lados

• Cuadrilátero: polígono con cuatro lados

• Pentágono: polígono con cinco lados

• Hexágono: polígono con seis lados

• Heptágono: polígono con siete lados

• Octógono: polígono con ocho lados

• Eneágono: polígono con nueve lados

• Decágono: polígono con diez lados

• Undecágono: polígono con once lados

• Dodecágono: polígono con doce lados

• Y así sucesivamente…

Polígonos según su regularidad

También podemos clasificar los polígonos según sus lados y ángulos:

• Equilátero: si tienen todos sus lados iguales.

• Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales.

• Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)

• Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

Polígonos según sus ángulos

Podemos clasificar los polígonos según si sus ángulos son mayores o menores de 180º en convexos o cóncavos.

• Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Por otro método, será convexo si para cualquier par de puntos del polígono, el segmento que los une está dentro del polígono.

• Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. Al contrario del convexo, en los cóncavos existe un par de puntos del polígono que el segmento que los une queda fuera del polígono.

Polígonos según su complejidad

• Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro
• Complejo: al menos un par de lados se corta

Elementos del polígono regular

Existen varios elementos del polígono regular que los caracterizan.

• Centro (C): es el punto del polígono regular que equidista a todos los vértices.

• Lado (L): es uno de los n segmentos que delimitan el perímetro del polígono.

• Vértice (V): punto de unión de dos lados. Existen tantos vértices como lados tiene el polígono (n).

• Radio (r): es el segmento que une el centro con un vértice

• Apotema (ap): segmento que une el centro con el punto medio de un lado. La apotema es perpendicular a dicho lado.

• Diagonales: son segmentos que unen vértices no consecutivos.

Clasificación de polígonos regulares

Los polígonos regulares se pueden clasificar según el número de lados que tienen:

• Triángulo equilátero: polígono con tres lados y ángulos iguales.

• Cuadrado: polígono con cuatro lados y ángulos iguales.

• Pentágono regular: polígono con cinco lados y ángulos iguales.

• Hexágono regular: polígono con seis lados y ángulos iguales.

• Heptágono regular: polígono con siete lados y ángulos iguales.

• Octógono regular: polígono con ocho lados y ángulos iguales.

• Eneágono regular: polígono con nueve lados y ángulos iguales.

• Decágono regular: polígono con diez lados y ángulos iguales.

• Undecágono regular: polígono con once lados y ángulos iguales.

• Dodecágono regular: polígono con doce lados y ángulos iguales.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES 1: A PARTIR DEL LADO

1.- TRIÁNGULO EQUILÁTERO A PARTIR DEL LADO

 2.- CUADRADO A PARTIR DEL LADO

 3.- PENTÁGONO A PARTIR DEL LADO

 4.- HEXÁGONO A PARTIR DEL LADO

 5.- HEPTÁGONO A PARTIR DEL LADO (CONSTRUCCIÓN APROXIMADA)

 6.- OCTÓGONO A PARTIR DEL LADO

 7.- ENEÁGONO A PARTIR DEL LADO (CONSTRUCCIÓN APROXIMADA)

8.-DECÁGONO A PARTIR DEL LADO

CONSTRUCCIÓN GENERAL DE POLÍGONOS A PARTIR DEL LADO

Aquí tenéis un ejemplo de la construcción general de un endecágono mediante la construcción general. Tenéis que saber que esta es una construcción no exacta.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS 2: A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

HEXÁGONO

CUADRADO/OCTÓGONO

PENTÁGONO/DECÁGONO

 

CONSTRUCCIÓN GENERAL A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA

UD2.2. CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es una superficie plana delimitada por rectas que se cortan dos a dos. Los puntos en los que se cortan son los vértices y los segmentos determinados por esos puntos lados.
Los cuadriláteros se clasifican en dos clases según sus ángulos interiores:

• Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de π radianes (180º). La suma de sus ángulos interiores es de 360º (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores.
• Cóncavos: uno de sus ángulos interiores mide más de π radianes (180º). Al menos una de sus dos diagonales es exterior.

Los cuadriláteros convexos se pueden dividir en varias categorías según sus lados y ángulos:

• Paralelogramos: es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los ángulos opuestos iguales.
• Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales. Sus diagonales son iguales y se bisecan a 90º
• Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.Sus diagonales son iguales, pero se bisecan a un ángulo diferente de 90º.
• Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente. Sus diagonales son diferentes y se bisecan a 90º.
• Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado paralelogramo no regular.






• Trapecios: cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.
• Trapecio rectángulo: se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos ángulos consecutivos rectos (de 90º).
• Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud. Diagonales iguales y se bisecan.
• Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.






• Trapezoides: es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.
  
  
  
  
  
  

Casuística:

• Construcción de un cuadrado:

• A partir del lado:

• A partir de la diagonal:

• Rectángulo a partir de sus lados:

• Rectángulo conociendo un lado y su diagonal:

• Rectángulo conociendo la diagonal y la suma de sus lados:

• Rectángulo conocida la suma y la diferencia de sus lados:

1. La suma de los lados es s.
2. Sobre él colocamos d, resta de los lados.
3. Sobre la diferencia de ambos segmentos (s-d) trazamos la mediatriz hallando B.
4. Pinchamos en B y con radio BP y subimos con el compás sobre la mediatriz para halla C.
5. BC es el lado menor del rectángulo, ya solo queda dibujarlo.

• Construcción del rombo:
• Dado un lado y la diagonal:

• Dado un ángulo y su diagonal:

• Rombo dado su lado y un ángulo:

• Romboide:
• Romboide conocidos sus lados y un ángulo:

• Romboide conocidos sus lados y la altura:

• Trapecio:
• Trapecio escaleno conocidos sus cuatros lados:

• Trapecio escaleno conocidos sus bases y sus diagonales:

• Trapecio rectángulo conocida la base mayor, la altura y la diagonal menor:

 Trapecio isosceles conocida su base mayor, la altura y la diagonal: