NUEVO TEMA: UD11. PERSPECTIVA CÓNICA

Ya está disponible en la pestaña de "Apuntes" el nuevo tema referente a la perspectiva cónica. En él hacemos un repaso a lo que ha supuesto la evolución del concepto de perspectiva a lo largo de la historia y la invención de la perspectiva matemática en el Renacimiento. Además aprenderemos a dibujar perspectiva cónica con dos métodos diferentes. 

Os dejo el enlace:

UD11. Perspectiva Cónica 

NUEVO VÍDEO: UD10. PERSPECTIVA CABALLERA: PROYECCIÓN DEL EJE Y

 En este vídeo podréis ver como se proyecta el eje Y en la perspectiva caballera explicado en el espacio con gráficos 3D.

UD9. SISTEMA AXONOMÉTRICO: REDUCCIONES, EXPLICACIÓN EN EL ESPACIO

 Con este vídeo con gráficos 3D podrás entender el porqué del procedimiento de obtención de las reducciones de las medidas en los ejes del sistema axonométrico.

Nuevo vídeo: UD8. SISTEMA DIÉDRICO: TERCERA PROYECCIÓN

En este vídeo podrás ver en una animación en 3D los fundamentos de la tercera proyección sobre un plano auxiliar de perfil.

Nuevo Vídeo: UD8. Sistema Diédrico: Proyección de la recta

UD8. SISTEMA DIÉDRICO: FUNDAMENTOS

FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIÉDRICO

SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO

ALFABETO DEL PUNTO

REPRESENTACIÓN DE LA RECTA

ALFABETO DE LA RECTA

REPRESENTACIÓN DEL PLANO Y TIPOS DE PLANO

TERCERA PROYECCIÓN DE UNA RECTA DE PERFIL

LA PERSPECTIVA LEGÍTIMA

 Como hemos comentado anteriormente desde la antigüedad clásica se ha intentado la representación gráfica del espacio tridimensional en una superficie bidimensional. Tradicionalmente esta representación se hacía mediante una perspectiva intuitiva, atendiendo al aprendizaje basado en la experiencia visual del propio artista. No es hasta el Renacimiento cuando se formula un modelo matemático para dicha representación. Este modelo matemático está basado en los estudios de óptica llevados a cabo durante el clasicismo griego, basados a su vez en un modelo geométrico. El concepto más importante rescatado de estos estudios es el de pirámide o cono visual, que se forma con el vértice en el ojo del observador y cuya base está formada por el objeto observado. 

La importancia de este concepto se plasma en la definición de Leon Battista Alberti (1404-1472) de la pintura en su tratado “De Pictura” de 1435. Alberti define la pintura como la “sección plana la pirámide visual”. Como vemos en este concepto tenemos tres elementos principales que van a formar parte de todos los sistemas perspectivos: El punto de vista, el plano del cuadro (plano de representación) y el objeto observado.

Aparatos perspectográficos de Durero (arriba) y Leonardo basados en el concepto de sección plana de la pirámide visual

Todos estos elementos son tomados por Filippo Brunelleschi (1377-1446) para la invención de su método de perspectiva, la  “Construzione Legittima". Este método es descrito por su discípulo Piero della Francesca (1415-1492) en su tratado “De Prospectiva Pingendi” (1472-1475), que es considerado como el primer tratado de perspectiva. 

Construcción Legítima de Brunelleschi

UD10.PERSPECTIVA CABALLERA

Una variante de la perspectiva axonométrica es la Perspectiva Caballera. La perspectiva caballera tiene como característica especial que el plano de proyección del sistema XOZ está contenido en el papel del dibujo, con lo que tanto las medidas angulares como métricas de este plano se ven en verdadera magnitud. Al estar contenido en el plano los ejes X  y Z, el eje Y queda perpendicular al papel del dibujo, de modo que no se puedo proyectar ortogonalmente dicho eje Y he de proyectarlo con determinado ángulo siendo esta por lo tanto una Perspectiva Oblicua.
 

Por lo tanto en la perspectiva caballera la diferencia con respecto a la axonométrica es que tan sólo tendremos que calcular la reducción para el eje Y.
En los apuntes de este tema tenéis toda la información para calcular la reducción del eje Y.
Además os dejo un vídeo explicando los fundamentos de dicha perspectiva, así como la manera de hallar las reducciones y de representar piezas.

 En este vídeo podréis ver como se proyecta el eje Y en la perspectiva caballera explicado en el espacio con gráficos 3D.

UD9. SISTEMA AXONOMÉTRICO II: INTERSECCIONES CON SÓLIDOS

En este artículo os dejo unos videos del canal de YouTube "Dibujo y Mates" en los que se explica de manera sencilla y concisa las bases para hallar las intersecciones entre planos y sólidos sencillos en axonométrico. Para ello tenéis que tener en cuenta los siguientes aspectos:

Para hallar la sección producida tenemos que tener en cuenta los siguientes conceptos:

1. Los datos que nos suelen dar son:

• Un cuerpo sólido, por ejemplo un cubo.

• Un plano que lo secciona o los puntos de las aristas del sólido por los que pasa la sección.

2. Cuando trabajamos con secciones de cuerpos sólidos mostraremos sólo la proyección directa de los elementos para más claridad del dibujo.
3. La sección producida por un plano en un cuerpo sólido también es una sección plana que pertenece tanto al cuerpo como al plano dado.
4. Para hallar la sección tenemos que hallar sus puntos de intersección con las aristas del cuerpo sólido.

5. Cuando dos caras de una figura son paralelas, la sección que se produce en ellas también es paralela.
6. Para ayudarnos a hallar la sección de un plano a una pieza siempre es bueno hallar las trazas del plano con los planos de proyección.
7. La sección producida por el plano en el cuerpo sólido se raya con líneas continuas finas dispuestas a 45º con una separación de 2 mm aproximadamente.

VIDEOS EXPLICATIVOS DE "Dibujo y Mates"
1.- Conceptos básicos de las secciones:



2.- Resolución de ejercicios 1:



3.- Resolución de ejercicios 2:



4.- Resolución de ejercicios 3:



5.- Resolución de ejercicios 4:

UD2.4. POLÍGONOS ESTRELLADOS

POLÍGONOS ESTRELLADOS

Los polígonos estrellados surgen de la unión de vértices no consecutivos de polígonos convexos. El resultado es una línea quebrada cerrada que al final de ciclo vuelve al vértice del cual partió. Dependiendo de sus características, podemos clasificarlos según:

• GÉNERO. g: Se denomina así al número de cuerdas o lados del polígono estrellado.
• El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un género 5, pentágono estrellado = pentágono).

• PASO. p: Número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado.

• ESPECIE .e: En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc.

Polígonos estrellados de los convexos.

El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo es el número de cifras primas con él menores de su mitad. Estas cifras primas nos indican además el paso del polígono y por tanto su especie.

• Por ejemplo en el pentágono dividimos 5 por dos (5/2 = 2.5) y observamos que el número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. Podemos deducir por tanto que el pentágono tiene un solo polígono estrellado, y no solo eso sino que, además, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2) pues 2 es el número primo resultante de la operación. El polígono así obtenido será por tanto de 1ª especie.
• Hexágono: 6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar decimales. El hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 0 no tiene primos.
• Heptágono: 7/2 = 3.5. Los números 3 y 2 son los primos de 7. El heptágono tiene dos polígonos estrellados (dos primos) de pasos 2 y 3, o especies 1ª y 2ª.

Construcción.

• El triángulo no tiene polígono estrellado.

• El cuadrado no tiene polígono estrellado.

• El pentágono uno de 1ª especie.

• El hexágono ninguno.

• El heptágono dos, de 1ª y 2ª especie.

• El octógono uno, de 2ª especie.

• El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie.

• El decágono uno, de 2ª especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad si bien solo podremos trazar un polígono estrellado de 2ª especie.

• Con once vértices 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie.

• El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5 o 4ª especie. Fig.62

Fuente: dibujotecni.com

UD2.3. POLÍGONOS REGULARES

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se unen son los vértices.

Tipos de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes

Polígonos según sus lados

Los polígonos se pueden clasificar según su número de lados:

• Triángulo: polígono con tres lados

• Cuadrilátero: polígono con cuatro lados

• Pentágono: polígono con cinco lados

• Hexágono: polígono con seis lados

• Heptágono: polígono con siete lados

• Octógono: polígono con ocho lados

• Eneágono: polígono con nueve lados

• Decágono: polígono con diez lados

• Undecágono: polígono con once lados

• Dodecágono: polígono con doce lados

• Y así sucesivamente…

Polígonos según su regularidad

También podemos clasificar los polígonos según sus lados y ángulos:

• Equilátero: si tienen todos sus lados iguales.

• Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales.

• Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)

• Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

Polígonos según sus ángulos

Podemos clasificar los polígonos según si sus ángulos son mayores o menores de 180º en convexos o cóncavos.

• Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Por otro método, será convexo si para cualquier par de puntos del polígono, el segmento que los une está dentro del polígono.

• Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. Al contrario del convexo, en los cóncavos existe un par de puntos del polígono que el segmento que los une queda fuera del polígono.

Polígonos según su complejidad

• Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro
• Complejo: al menos un par de lados se corta

Elementos del polígono regular

Existen varios elementos del polígono regular que los caracterizan.

• Centro (C): es el punto del polígono regular que equidista a todos los vértices.

• Lado (L): es uno de los n segmentos que delimitan el perímetro del polígono.

• Vértice (V): punto de unión de dos lados. Existen tantos vértices como lados tiene el polígono (n).

• Radio (r): es el segmento que une el centro con un vértice

• Apotema (ap): segmento que une el centro con el punto medio de un lado. La apotema es perpendicular a dicho lado.

• Diagonales: son segmentos que unen vértices no consecutivos.

Clasificación de polígonos regulares

Los polígonos regulares se pueden clasificar según el número de lados que tienen:

• Triángulo equilátero: polígono con tres lados y ángulos iguales.

• Cuadrado: polígono con cuatro lados y ángulos iguales.

• Pentágono regular: polígono con cinco lados y ángulos iguales.

• Hexágono regular: polígono con seis lados y ángulos iguales.

• Heptágono regular: polígono con siete lados y ángulos iguales.

• Octógono regular: polígono con ocho lados y ángulos iguales.

• Eneágono regular: polígono con nueve lados y ángulos iguales.

• Decágono regular: polígono con diez lados y ángulos iguales.

• Undecágono regular: polígono con once lados y ángulos iguales.

• Dodecágono regular: polígono con doce lados y ángulos iguales.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES 1: A PARTIR DEL LADO

1.- TRIÁNGULO EQUILÁTERO A PARTIR DEL LADO

 2.- CUADRADO A PARTIR DEL LADO

 3.- PENTÁGONO A PARTIR DEL LADO

 4.- HEXÁGONO A PARTIR DEL LADO

 5.- HEPTÁGONO A PARTIR DEL LADO (CONSTRUCCIÓN APROXIMADA)

 6.- OCTÓGONO A PARTIR DEL LADO

 7.- ENEÁGONO A PARTIR DEL LADO (CONSTRUCCIÓN APROXIMADA)

8.-DECÁGONO A PARTIR DEL LADO

CONSTRUCCIÓN GENERAL DE POLÍGONOS A PARTIR DEL LADO

Aquí tenéis un ejemplo de la construcción general de un endecágono mediante la construcción general. Tenéis que saber que esta es una construcción no exacta.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS 2: A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

HEXÁGONO

CUADRADO/OCTÓGONO

PENTÁGONO/DECÁGONO

 

CONSTRUCCIÓN GENERAL A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA

UD2.2. CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es una superficie plana delimitada por rectas que se cortan dos a dos. Los puntos en los que se cortan son los vértices y los segmentos determinados por esos puntos lados.
Los cuadriláteros se clasifican en dos clases según sus ángulos interiores:

• Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de π radianes (180º). La suma de sus ángulos interiores es de 360º (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores.
• Cóncavos: uno de sus ángulos interiores mide más de π radianes (180º). Al menos una de sus dos diagonales es exterior.

Los cuadriláteros convexos se pueden dividir en varias categorías según sus lados y ángulos:

• Paralelogramos: es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los ángulos opuestos iguales.
• Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales. Sus diagonales son iguales y se bisecan a 90º
• Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.Sus diagonales son iguales, pero se bisecan a un ángulo diferente de 90º.
• Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente. Sus diagonales son diferentes y se bisecan a 90º.
• Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado paralelogramo no regular.






• Trapecios: cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.
• Trapecio rectángulo: se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos ángulos consecutivos rectos (de 90º).
• Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud. Diagonales iguales y se bisecan.
• Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.






• Trapezoides: es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.
  
  
  
  
  
  

Casuística:

• Construcción de un cuadrado:

• A partir del lado:

• A partir de la diagonal:

• Rectángulo a partir de sus lados:

• Rectángulo conociendo un lado y su diagonal:

• Rectángulo conociendo la diagonal y la suma de sus lados:

• Rectángulo conocida la suma y la diferencia de sus lados:

1. La suma de los lados es s.
2. Sobre él colocamos d, resta de los lados.
3. Sobre la diferencia de ambos segmentos (s-d) trazamos la mediatriz hallando B.
4. Pinchamos en B y con radio BP y subimos con el compás sobre la mediatriz para halla C.
5. BC es el lado menor del rectángulo, ya solo queda dibujarlo.

• Construcción del rombo:
• Dado un lado y la diagonal:

• Dado un ángulo y su diagonal:

• Rombo dado su lado y un ángulo:

• Romboide:
• Romboide conocidos sus lados y un ángulo:

• Romboide conocidos sus lados y la altura:

• Trapecio:
• Trapecio escaleno conocidos sus cuatros lados:

• Trapecio escaleno conocidos sus bases y sus diagonales:

• Trapecio rectángulo conocida la base mayor, la altura y la diagonal menor:

 Trapecio isosceles conocida su base mayor, la altura y la diagonal: