UD4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Una transformación geométrica es una correspondencia entre los elementos de dos formas geométricas.

Las transformaciones geométricas pueden ser:

1. ISOMÉTRICAS (= medida): Entre la figura original y la transformada se mantienen las magnitudes lineales y los ángulos.
1. GIROS
2. TRASLACIÓN
3. SIMETRÍA
2. ISOMÓRFICAS (= forma): Mantienen la misma forma pero no el tamaño.
1. HOMOTECIA
3. ANAMÓRFICAS: Cambia el tamaño y el valor angular.
1. INVERSIÓN
2. HOMOLOGÍA
3. AFINIDAD 

HOMOTECIA

La homotecia es un tipo de transformación que relaciona los elementos de dos figuras, puntos o rectas llamados homotéticos, tal que:

1. Dos puntos homotéticos A y A' están alineados con otro punto O llamado centro de homotecia.
2. Dos rectas homotéticas a y a' son paralelas.

Razón de Homotecia:

La razón o coeficiente de homotecia es la relación que hay entre las distancias desde el centro de homotecia O a los puntos homotéticos A yA'. Es una constante llamada k.

k= OA/OA'

La homotecia puede ser directa (k>0) o inversa (k<0).

• Si la homotecia es directa los dos puntos homotéticos están al mismo lado del centro de homotecia.
• Si la homotecia es inversa los puntos homotéticos tienen interpuesto el centro de homotecia quedando uno a cada lado de O.

Para definir la homotecia basta con conocer uno de estos dos datos:

• Cetro de homotecia y dos puntos homotéticos.
• Centro y razón de homotecia.
• Dos figuras homotéticas.

TRAZADO DE HOMOTECIA DIRECTA

TRAZADO DE HOMOTECIA INVERSA

Casuística:

1.- Hallar el homotético del punto B dado conociendo  el centro de homotecia O y una pareja de puntos homotéticos A y A'.

pasos:

1. Unir B con el centro de homotecia O.
2. Dibujar la recta AB
3. Desde A' dibujar una recta paralela a la anterior
4. La intersección con la prolongación de la recta OB será B', homotético de B buscado.

2.- Dado el triángulo ABC, dibujar un cuadrado inscrito en el mismo.

SIMETRÍA

Todos hemos hecho esto alguna vez con  un espejo o un escaparate. Estamos, con esta acción, haciendo un ejercicio de simetría. La separación entre el espejo y la realidad es una línea llamada eje de simetría.

En geometría existen dos tipos de simetrías dependiendo de cual es el centro de la transformación:

1. Simetría Axial: Existe un eje de simetría que es una línea recta.
2. Simetría central: El centro de simetría es un punto.

SIMETRÍA AXIAL

En la simetría axial deben cumplirse las siguientes leyes:

1. La recta que une dos puntos simétricos A, A', es perpendicular a otra llamada eje de simetría.
2. Dos puntos simétricos A y A' están a ambos lados del eje y a la misma distancia de este.
3. Los puntos situados en el eje de simetría tienen su simétrico coincidentes con sí mismos, por ello al eje de simetría se le llama lugar geométrico de los puntos dobles.
4. Las rectas simétricas se encuentran en un punto del eje.

SIMETRÍA CENTRAL

En la simetría axial deben cumplirse las siguientes leyes:

1. La recta que une dos puntos simétricos A, A' pasa por otro O llamado centro de simetría.
2. Dos puntos simétricos A y A' están a ambos lados del centro de simetría y a la misma distancia de este.
3. Las rectas simétricas son paralelas.

TRASLACIÓN

La traslación es una transformación geométrica en la que los puntos de un objeto se mueven una distancia constante en una determinada dirección.
La traslación tiene que cumplir las siguientes reglas:

• La recta que une dos puntos homólogos es paralela a una recta d dada llamada dirección de traslación.
• Dos rectas homólogas son paralelas.
• Todos los puntos se trasladan una misma distancia en un mismo sentido.

Traslación de un polígono

GIRO

Un giro es una transformación que se realiza siempre alrededor de un punto O, centro de giro, con un ángulo y en una dirección determinada.

La traslación tiene que cumplir las siguientes reglas:

• La distancia de un punto A y su homólogo A’ con respecto al centro de giro es constante.

• En ángulo formado por una pareja de puntos homólogos cuyo vértice es el centro de giro AOA’ es igual al ángulo de giro dado.

• Todos los puntos se giran siguiendo el mismo sentido de giro.

giro de un polígono un determinado ángulo.

Los giros los realizaremos copiando repetidamente el ángulo de giro dado para cada uno de los puntos del polígono a girar.

Giro de una recta cualquiera dado el ángulo de giro

1. Operamos eligiendo dos puntos cualesquiera A y B de la recta.
2. Hallamos sus homólogos A' y B'.
3. Los unimos para obtener la recta homóloga r'.