UD4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Una transformación geométrica es una correspondencia entre los elementos de dos formas geométricas.

Las transformaciones geométricas pueden ser:

1. ISOMÉTRICAS (= medida): Entre la figura original y la transformada se mantienen las magnitudes lineales y los ángulos.
1. GIROS
2. TRASLACIÓN
3. SIMETRÍA
2. ISOMÓRFICAS (= forma): Mantienen la misma forma pero no el tamaño.
1. HOMOTECIA
3. ANAMÓRFICAS: Cambia el tamaño y el valor angular.
1. INVERSIÓN
2. HOMOLOGÍA
3. AFINIDAD 

HOMOTECIA

La homotecia es un tipo de transformación que relaciona los elementos de dos figuras, puntos o rectas llamados homotéticos, tal que:

1. Dos puntos homotéticos A y A' están alineados con otro punto O llamado centro de homotecia.
2. Dos rectas homotéticas a y a' son paralelas.

Razón de Homotecia:

La razón o coeficiente de homotecia es la relación que hay entre las distancias desde el centro de homotecia O a los puntos homotéticos A yA'. Es una constante llamada k.

k= OA/OA'

La homotecia puede ser directa (k>0) o inversa (k<0).

• Si la homotecia es directa los dos puntos homotéticos están al mismo lado del centro de homotecia.
• Si la homotecia es inversa los puntos homotéticos tienen interpuesto el centro de homotecia quedando uno a cada lado de O.

Para definir la homotecia basta con conocer uno de estos dos datos:

• Cetro de homotecia y dos puntos homotéticos.
• Centro y razón de homotecia.
• Dos figuras homotéticas.

TRAZADO DE HOMOTECIA DIRECTA

TRAZADO DE HOMOTECIA INVERSA

Casuística:

1.- Hallar el homotético del punto B dado conociendo  el centro de homotecia O y una pareja de puntos homotéticos A y A'.

pasos:

1. Unir B con el centro de homotecia O.
2. Dibujar la recta AB
3. Desde A' dibujar una recta paralela a la anterior
4. La intersección con la prolongación de la recta OB será B', homotético de B buscado.

2.- Dado el triángulo ABC, dibujar un cuadrado inscrito en el mismo.

SIMETRÍA

Todos hemos hecho esto alguna vez con  un espejo o un escaparate. Estamos, con esta acción, haciendo un ejercicio de simetría. La separación entre el espejo y la realidad es una línea llamada eje de simetría.

En geometría existen dos tipos de simetrías dependiendo de cual es el centro de la transformación:

1. Simetría Axial: Existe un eje de simetría que es una línea recta.
2. Simetría central: El centro de simetría es un punto.

SIMETRÍA AXIAL

En la simetría axial deben cumplirse las siguientes leyes:

1. La recta que une dos puntos simétricos A, A', es perpendicular a otra llamada eje de simetría.
2. Dos puntos simétricos A y A' están a ambos lados del eje y a la misma distancia de este.
3. Los puntos situados en el eje de simetría tienen su simétrico coincidentes con sí mismos, por ello al eje de simetría se le llama lugar geométrico de los puntos dobles.
4. Las rectas simétricas se encuentran en un punto del eje.

SIMETRÍA CENTRAL

En la simetría axial deben cumplirse las siguientes leyes:

1. La recta que une dos puntos simétricos A, A' pasa por otro O llamado centro de simetría.
2. Dos puntos simétricos A y A' están a ambos lados del centro de simetría y a la misma distancia de este.
3. Las rectas simétricas son paralelas.

TRASLACIÓN

La traslación es una transformación geométrica en la que los puntos de un objeto se mueven una distancia constante en una determinada dirección.
La traslación tiene que cumplir las siguientes reglas:

• La recta que une dos puntos homólogos es paralela a una recta d dada llamada dirección de traslación.
• Dos rectas homólogas son paralelas.
• Todos los puntos se trasladan una misma distancia en un mismo sentido.

Traslación de un polígono

GIRO

Un giro es una transformación que se realiza siempre alrededor de un punto O, centro de giro, con un ángulo y en una dirección determinada.

La traslación tiene que cumplir las siguientes reglas:

• La distancia de un punto A y su homólogo A’ con respecto al centro de giro es constante.

• En ángulo formado por una pareja de puntos homólogos cuyo vértice es el centro de giro AOA’ es igual al ángulo de giro dado.

• Todos los puntos se giran siguiendo el mismo sentido de giro.

giro de un polígono un determinado ángulo.

Los giros los realizaremos copiando repetidamente el ángulo de giro dado para cada uno de los puntos del polígono a girar.

Giro de una recta cualquiera dado el ángulo de giro

1. Operamos eligiendo dos puntos cualesquiera A y B de la recta.
2. Hallamos sus homólogos A' y B'.
3. Los unimos para obtener la recta homóloga r'.

UD3.PROPORCIONALIDAD, IGUALDAD, SEMEJANZA Y ESCALAS

Las proporciones . La igualdad entre dos razones recibe el nombre de proporción. La teoría de las proporciones fue desarrollada por el gran matemático griego Eudoxio_de_Cnidos.

Razones y proporciones

Razón

La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Entonces:

La razón entre dos números a y b es la fracción  y se lee a es a b. Esta razón también puede escribirse a:b.

Proporción

Dadas dos razones a/b y c/d, diremos que están en proporción si a/b = c/d, el resultado es un número al que se le llama constante (k).

Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios

a/b = c/d  ⇒  a·d = b·c 

MEDIA PROPORCIONAL ENTRE DOS SEGMENTOS:

Sean dos segmentos a y b se llama media proporcional de estos dos segmentos a un tercero x tal que: a/x = x/b.
En geometría utilizamos dos teoremas relacionados con el triángulo rectángulo para hallar esta media proporcional:

1.- Teorema del cateto:

Dice que el cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.

Para ver su aplicación mira este video:

2.- Teorema de la altura:

Dice que la altura de un triángulo rectángulo es media proporcional de la dos partes en que divide con su pie a la hipotenusa.

Para ver su aplicación mira este video:

TEOREMA DE TALES:

Otro teorema importante en la proporcionalidad entre segmentos es el de Tales. Ya lo vimos en el tema anterior para la división de un segmento en partes iguales.
El teorema de Tales dice que un haz de rectas paralelas determinan sobre otras dos rectas coplanarias concurrentes segmentos proporcionales entre sí. De la siguiente manera:

Utilizaremos el Teorema de Tales en muchos conceptos proporcionales relativos a segmentos. Si quieres ver como se opera con él, sigue el video:

Tercero proporcional entre dos segmentos

Sean dos segmentos a y b se trata de hallar un tercero proporcional a ellos tal que:

a/b =b/x

Siendo x el segmento buscado.

Para ello aplicaremos el teorema de Tales.

Cuarto proporcional entre dos segmentos

Sean tres segmentos a, b y c será su cuarto proporcional el segmento x tal que:

a/b=c/x

De nuevo utilizaremos el teorema de Tales para su resolución:

SECCIÓN AUREA DE UN SEGMENTO (DIVISIÓN EN SU MEDIA Y EXTREMA RAZÓN)

Se llama sección aurea de un segmento a la producida por un punto tal que el todo es a la parte mayor como la mayor es a la menor. Esto es:

Construcción:

Los segmentos d y e son los resultantes de la construcción.

Trazar un segmento AC del cual se da el Áureo AB (rectángulo áureo):

La sección áurea en el pentágono:

La Sección Áurea está muy presente en el pentágono:
La relación entre el lado f y la diagonal m cumple esta proporción.
Las alturas h1 y h2 están en la misma relación.
Y los segmentos q y r del pentágono estrellado también la cumplen.

RELACIONES GEOMÉTRICAS:

Igualdad:

Dos figuras son iguales cuando sus ángulos y sus lados respectivos son iguales.

construcción de figuras iguales:

1.- Por copia de ángulos ángulos:

2.- Por coordenadas:

3.- Por radiación:

4.- Por triangulación:

Semejanza:

Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Se denomina razón de semejanza a la relación que existe entre los lados proporcionales de las figuras semejantes, se expresa mediante una fracción y es una constante.

Construir una figura semejante a otra a partir de la razón de semejanza:

mediante radiación:

mediante coordenadas:

Construir un polígono semejante a otro conocido el lado:

Construcción de una figura inversamente semejante:

ESCALAS

La escala es la relación de semejanza que existe entre dos figuras, la figura del dibujo y la figura real, esta relación se representa mediante un cociente. En el numerador tendremos la medida del dibujo y en denominador la medida del objeto real.

Hay tres tipos de escala:

Escala de reducción:

La utilizamos cuando la figura real es demasiado grande para ser representada dentro de la superficie de dibujo. En ella el denominador es siempre mayor que el numerador.

Escala natural:

En la escala natural se representa el objeto al mismo tamaño que en la realidad.

Escala de ampliación:

Se utiliza cuando el objeto representado es muy pequeño o muestra detalles muy pequeños. En ella del numerador es siempre mayor que el denominador.

Puede haber multitud de escalas, por ello se ha establecido una normalización en el uso de éstas.

La norma que regula las escalas a utilizar en los diferentes campos de la industria es UNE-EN ISO 5455:1996.

En el cuadro de abajo tenéis las más utilizadas en cada campo:

Ejemplos prácticos:

EJEMPLO 1

Se desea representar en un formato A3 la planta de un edificio de 60 x 30 metros.

La escala más conveniente para este caso sería 1:200 que proporcionaría unas dimensiones de 30 x 15 cm, muy adecuadas al tamaño del formato.

EJEMPLO 2:

Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2 x 1 cm.

La escala adecuada sería 10:1

EJEMPLO 3:

Sobre una carta marina a E 1:50000 se mide una distancia de 7,5 cm entre dos islotes, ¿qué distancia real hay entre ambos?

Se resuelve con una sencilla regla de tres:

si 1 cm del dibujo son 50000 cm reales

7,5 cm del dibujo serán X cm reales

X = 7,5 x 50000 / 1 … y esto da como resultado 375.000 cm, que equivalen a 3,75 km.

Escalas Gráficas:

La escala gráfica o escala volante es una escala dibujada en el papel. Esta escala puede ser ampliada o reducida respecto a las medidas reales del objeto según conveniencia. Las medidas se toman en el objeto con la regla real, pero se dibujan en el papel según la escala fabricada.

La contraescala es una división de una de las unidades de la escala gráfica en unidades más pequeñas, generalmente en décimas.

Ejemplos de diferentes escalas gráficas. La tercera con contraescala.

La escala gráfica se aplica utilizando el teorema de Tales, colocando de una parte las unidades del dibujo y en la otra las unidades de la realidad.

Véase, por ejemplo, el caso para E 3:5

1. Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y s formando un ángulo cualquiera.
2. Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5 en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.
3. Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida en la del dibujo mediante una simple paralela a AB.

Escala Transversal:

Se diferencia de la anterior en que además de décimas de unidad podemos apreciar centésimas de unidad.

Ejemplo de Escala Transversal

 

Triángulo Universal de las Escalas:

Es un triángulo en el que podemos encontrar las escalas más utilizadas.
Lo haremos mediante un triángulo equilátero cuyos lados midan, por ejemplo 10 cm, o bien mediante  un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 10 cm.

Además de las escalas gráficas existen los escalímetros que son reglas con diferentes escalas para poder trabajar sobre el dibujo con ellas.

El pie de rey es un instrumento que se utiliza para tomar las diferentes medidas sobre el objeto real a representar.