UD5. TANGENCIAS

Un elemento es tangente a otro cuando tan sólo se tocan en un punto, llamado punto de tangencia.
Las tangencias se pueden dar entre circunferencias (exteriores e interiores) y entre rectas y circunferencias.
Los problemas de tangencias pueden buscar los siguientes objetivos:

1. Trazado de rectas tangentes a circunferencias.
2. Trazado de circunferencias tangentes conocido el radio.
3. Trazado de circunferencias tangentes sin conocer el radio.

Para trazar tangencias hay que tener claros los siguientes principios fundamentales:

• Cuando dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está contenido en la linea que une sus centros.

• Cuando una recta es tangente a una circunferencia esta recta es perpendicular al radio cuyo pie es el punto de tangencia.

• El centro de una circunferencia se encuentra en la mediatriz de sus cuerdas. Dicho de otro modo:

• El lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos es la mediatriz del segmento definido por dichos puntos, este segmento es una cuerda de dichas circunferencias.

Centro en la intersección de las mediatices f y g

lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por B y C

• El lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas es la bisectriz del ángulo formado por estas.

Además de conocer estos principios fundamentales hemos de tener claros los siguientes lugares geométricos:

• Una circunferencia concéntrica de radio (r+s) a otra de radio (r) es el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de las circunferencias tangentes exteriores de radio (s) a la cicunferencia de radio (r).

• Una recta r paralela de otra recta (s) a una distancia (d) es el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias de radio (d) tangentes a la recta s. 

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TANGENCIAS

La resolución de los problemas de tangencias pasa por hallar geométricamente (no por aproximación) los puntos de tangencia y los centros de las circunferencias si la solución son estas. 

TRAZADO DE RECTAS TANGENTES

Recta tangente a una circunferencia dado el punto de tangencia T en esta.

Para hallar la recta tangente (i), hemos de dibujar una perpendicular al radio de la circunferencia en el el punto de tangencia T.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto P exterior a esta.

Datos: Circunferencia y punto P exterior.

Unir el punto P con el centro de la circunferencia O.

Hallar la mediatriz del segmento PO.

Concentro en M y radio MP dibujamos una circunferencia que corta a la dada en los puntos A y B, que son los puntos de tangencia buscados.

Unir P con A y con B, las rectas t1 y t2 son las tangentes buscadas.

Recta tangente a una circunferencia de centro desconocido dado el punto de tangencia T.

Datos: Arco y punto T en él.

Unir el punto P con el centro de la circunferencia O.

Hallar la mediatriz del segmento PO.

Concentro en M y radio MP dibujamos una circunferencia que corta a la dada en los puntos A y B, que son los puntos de tangencia buscados.

Unir P con A y con B, las rectas t1 y t2 son las tangentes buscadas.

Rectas tangentes a una circunferencia paralelas a una dirección:

Datos: Dirección d y circunferencia.

Dibujar una perpendicular (i) a la recta d dada desde el centro de la circunferencia O.

Los puntos de intersección de la recta i con la circunferencia, T1 y T2 son los puntos de tangencia buscados.

Trazar las paralelas t1 y t2 por los puntos anteriormente nombrados.

 

Rectas tangentes comunes a dos circunferencias:

Tangentes exteriores:

Datos: Circunferencias de centros O de radio r y O’ de radio r’.

A la circunferencia mayor O le restamos el radio de la circunferencia menor, r-r’ y dibujamos la circunferencia resultante.

Hallamos la mediatriz de segmento OO’ y con centro en el punto medio M dibujamos la circunferencia auxiliar cuyo radio es MO. 

Unimos los puntos de corte de esta circunferencia auxiliar con la anterior y en su prolongación encontramos T1 y T2 puntos de tangencia buscados.

Para hallar T3 y T4 en la otra circunferencia dada tan sólo tenemos que trazar paralelas a las rectas auxiliares anteriores.

Unimos T1 con T1’ y T2 con T2’.

Tangentes interiores:

Datos: Circunferencias de centros O de radio r y O’ de radio r’.

A la circunferencia mayor O le sumamos el radio de la circunferencia menor, r+r’ y dibujamos la circunferencia resultante.

Hallamos la mediatriz de segmento OO’ y con centro en el punto medio M dibujamos la circunferencia auxiliar cuyo radio es MO. 

Unimos los puntos de corte de esta circunferencia auxiliar con la anterior y sobre O encontramos T1 y T2 puntos de tangencia buscados.

Para hallar T3 y T4 en la otra circunferencia dada tan sólo tenemos que trazar paralelas a las rectas auxiliares anteriores, pero en esta ocasión lo haremos de manera intercambiada.

Unimos T1 con T1’ y T2 con T2’.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CONOCIDO EL RADIO

Circunferencias que pasan por dos puntos A y B:

Datos: Dos puntos A y B y el radio R de las circunferencias:

Concepto: El lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos es la mediatriz de la cuerda de la cual son extremos.

1. Tan sólo hemos de dibujar la mediatriz del segmento aB, cuerda de las circunferencias buscadas.
2. Con centro en A o B y radio R trazamos sendos arcos que cortan a la mediatriz en los puntos O1 y O2, centros de las circunferencias de radio R buscadas.
3. Dibujar las circunferencias que pasan por A y B.

Circunferencias tangentes a una recta y que pasan por un punto de esta:

Datos: Radio R de la circunferencia buscada, recta r y punto contenido en ella:

1. Dibujamos la perpendicular a la recta r por el punto dado.
2. Con radio R pinchamos en el punto para hallar en la mediatriz los puntos O1 y O2, centro de las circunferencias que buscamos.
3. Dibujamos las circunferencias.

Circunferencias tangentes a una recta que pasan por un punto exterior a esta:

Datos: Radio R de la circunferencia buscada, recta r y punto A exterior:

1. Sobre una perpendicular a la recta r marcamos la distancia dada R y dibujamos una paralela a la distancia R de la recta.
2. Pinchando en A y radio R hacemos sendos arcos para encontrar sobre la paralela s los puntos O1 y O2, centros de las circunferencias.
3. Para hallar los puntos de tangencia con la recta r, dibujar perpendiculares a la recta r desde O1 y O2
4. Dibujamos las circunferencias que pasan por A y T1 y T2.

Circunferencias de radio dado que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia:1.- Circunferencias de radio dado R que son tangentes a otra dado el punto de tangencia T:

Datos: Radio R de las circunferencias buscadas, Circunferencia de centro O y punto de tangencia T:

concepto: Los centros de las circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia.

1. Según lo anterior dibujamos una recta que una el centro O con el punto de tangencia T.
2. Con radio R pinchamos en T y hallamos sobre la recta los puntos O1 y O2, centros de las circunferencias buscadas.
3. Dibujar las circunferencias de radio R buscadas (una interior y otra exterior).

2.- Circunferencias de radio R dado tangentes a otra dada O pasando por un punto P exterior a ella:

Datos: Radio R (siendo R > r) de las circunferencias buscadas, Circunferencia de centro O y punto de tangencia T:

concepto: 

• El lugar geométrico de las circunferencias de radio R tangentes una de radio r es la circunferencia concéntrica con radio r+R y radio r-R.

• El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R que pasan por P es una circunferencia de radio R con centro en P.

Según lo anterior:

1. Dibujamos una circunferencia con centro en O y radio R+r: Para ello dibujamos un radio aleatorio de O y lo prolongamos sumando el radio R dado.
2. Para hacer la circunferencia r-R: Marcar la distancia R con centro en O hallando el punto I y con centro en I y radio r hallaremos el punto P1. OP1= R-r. Dibujamos la circunferencia OP1.
3. Para hallar los centros de las circunferencias buscadas, trazar una circunferencia de radio R y centro en P. Sus intersecciones con las dos anteriores nos dan los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las circunferencias buscadas.
4. Para hallar los puntos de tangencia T1…T4 uniremos los centros O1…O4 con O.
5. Dibujamos las circunferencias. Cuatro soluciones en total, dos externas que contienen a O y dos externas.

Si R<r en ese caso la solución se simplifica:

Circunferencias de radio R tangentes a dos rectas que se cortan:

Datos: Radio R de las circunferencias buscadas, par de rectas que se cortan:

concepto:

• El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R tangentes una recta es una paralela a la recta a una distancia R de ella .
• Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio cuyo pie es el punto de tangencia.

1. Según lo anterior dibujamos rectas paralelas a las dadas, los puntos de corte de dichas paralelas (O1, O2, O3 y O4) cumplirán la doble condición de encontrarse a una distancia R de ambas rectas. Son, pues, los centros de las circunferencias buscadas.
2. Para hallar los puntos de tangencia T1…T4, lanzamos perpendiculares a las rectas desde los centros de las circunferencias.

Circunferencias de radio R tangentes a una circunferencia de radio r y a una recta s dadas:

Caso 1: R<r

Datos: Radio R de las circunferencias buscadas, Circunferencia de centro O y recta s:

concepto: 

• El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R tangentes una recta es una paralela a la recta a una distancia R de ella .
• El lugar geométrico de las circunferencias de radio R tangentes una de radio r es la circunferencia concéntrica con radio r+R.

1. Según lo anterior dibujamos una recta paralela a la recta s a una distancia R.
2. Con radio R+r hacemos una circunferencia con centro O. Esa circunferencia se corta con la recta auxiliar anterior en los puntos O1 y O2, centro de las circunferencias buscadas.
3. Para hallar los puntos de tangencia T1…T4 lanzamos perpendiculares desde O1 y O2 a la recta s hallando T1 y T2. Y unimos los centros O1 y O2 para encontrar T3 y T4.

Caso 2: R>r

En este ejercicio existen 4 resultados. Los dos primeros se hallan como en el ejercicio anterior, las otras dos son exteriores que contienen a la circunferencia dada.

fig. 1

fig. 2

fig. 3

Los datos son los mismos que en el caso anterior, excepto que el radio R dado es mayor que el radio r de la circunferencia  O (R>r).

1. En el primer paso operaremos de la misma manera que en el ejercicio anterior.
2. Después restaremos al radio mayor R el menor r. Para ello dibujaremos un diámetro de la circ. O para, desde un extremo, coger la distancia de R, de tal manera que desde el centro O a la marca anterior nos quede el resultado de restar r a R (R-r) Fig. 3 y con ese radio y centro O dibujar una circunferencia auxiliar.
3. Las intersecciones de esta circunferencia con la recta auxiliar nos darán O1 y O2, centros de las circ. buscadas.
4. A partir de aquí hallamos los puntos de tangencia T1…T4 como en el ejercicio anterior y dibujamos las circunferencias.

Circunferencias de radio R dado, tangentes a otras dos circunferencias:Caso 1: R<r

Datos: Radio R de las circunferencias buscadas, circunferencias O y O’ dadas.

Concepto: El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R tangentes a las dadas es la intersección de sendas circunferencias concéntricas a las  O y O’ de radio r+R y r’+R.

1. Según lo anterior sobre la prolongación del radio r y r’ añadiremos la magnitud R y dibujamos dos circunferencias auxiliares.
2. Los puntos de intersección de estas, O1 y O2 son los centros de las circunferencias buscados.
3. Para hallar los puntos de tangencias T1…T4 unimos los centros de las circunferencias halladas con los de las dadas. 

Caso 2: R>r

En un caso como este podemos encontrar hasta 6 soluciones, si tenemos en cuenta que podemos dibujar las circunferencias tangentes externas que contienen a O, externas que contienen a O’, e incluso las externas que contendrían a O y O’ si el radio R fuera lo suficientemente grande. (Fig. 1)

Nos limitaremos por tanto a dibujar tan solo el caso de las circunferencias externas que contienen a O, por ello en vez de sumar R+r lo que haremos será restar R-r para dibujar la circunferencia auxiliar de ese radio.

Datos: Radio R de las circunferencias buscadas, circunferencias O y O’ dadas.

Concepto: El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R tangentes a las dadas es la intersección de sendas circunferencias concéntricas a las  O y O’ de radio R-r y r1+R.

1. Según lo anterior sobre la prolongación del radio r’ añadiremos la magnitud R y en la circunferencias O dada dibujaremos sobre un diámetro el radio R siendo el radio de la circunferencia auxiliar R-r: observa que en este caso la circunferencia auxiliar será interior a la dada. Una vez hecho esto dibujamos ambas circunferencias concéntricas a las dadas.
2. Los puntos de intersección de estas circunferencias auxiliares, O1 y O2, son los centros de las circunferencias buscados.
3. Para hallar los puntos de tangencias T1…T4 unimos los centros de las circunferencias halladas con los de las dadas.